(六) 6.2 Neurons Networks Backpropagation Algorithm-白红宇

(六) 6.2 Neurons Networks Backpropagation Algorithm

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发布时间：2019-06-18

本文共 2304 字，大约阅读时间需要 7 分钟。

今天得主题是BP算法。大规模的神经网络可以使用batch gradient descent算法求解，也可以使用 stochastic gradient descent 算法，求解的关键问题在于求得每层中每个参数的偏导数，BP算法正是用来求解网络中参数的偏导数问题的。

先上一张吊炸天的图，可以看到BP的工作原理：

下面来看BP算法，用m个训练样本集合 $\textstyle \{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}$ 来train一个神经网络，对于该模型，首先需要定义一个代价函数，常见的代价函数有以下几种：

1）0-1损失函数：（0-1 loss function）

2）平方损失函数：（quadratic loss function）

3）绝对值损失函数：（absolute loss function）

4）负log损失函数（log loss function）

损失函数的意义在于，假设函数（hypothesis function，即模型）的输出与数据标签的值月接近，损失函数越小。反之损失函数越大，这样减小损失函数的值，来求得最优的参数即可，最后将最优的参数带入带假设函数中，即可求得最终的最优的模型。

在Neurons Network中，对于一个样本（x，y），其损失函数可表示为　　

　　 $\begin{align} J(W,b; x,y) = \frac{1}{2} \left\| h_{W,b}(x) - y \right\|^2. \end{align}$

上式这种形式是平方损失函数（注意若采用交叉熵损失则与此损失形式不一样），对于所有的m个样本，对于所有训练数据，总的损失函数为：

　　 $\begin{align} J(W,b) &= \left[ \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m J(W,b;x^{(i)},y^{(i)}) \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{l=1}^{n_l-1} \; \sum_{i=1}^{s_l} \; \sum_{j=1}^{s_{l+1}} \left( W^{(l)}_{ji} \right)^2 \\ &= \left[ \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \left( \frac{1}{2} \left\| h_{W,b}(x^{(i)}) - y^{(i)} \right\|^2 \right) \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{l=1}^{n_l-1} \; \sum_{i=1}^{s_l} \; \sum_{j=1}^{s_{l+1}} \left( W^{(l)}_{ji} \right)^2 \end{align}$

上式中第一项为均方误差项，第二项为正则化项，用来限制权重W的大小，防止over-fitting，也即贝叶斯学派所说的给参数引入一个高斯先验的MAP（极大化后验）方法。 $\textstyle \lambda$ 为正则项的参数，用来控制两项的相对重要性，比如若 $\textstyle \lambda$ 很大时，参数W，b必须很小才能使得最终的损失函数J(W，b) 很小。

常见的分类或者回归问题，都可以用这个损失函数，注意分类时标签y是离散值，回归时对于sigmod函数y为(0,1)之间的连续值。对于tanh为(-1,1)之间的值。

BP算法的目标就是求得一组最优的W、b ，使得损失函数 $\textstyle J(W,b)$ 的值最小

首先将每个参数 $\textstyle W^{(l)}_{ij}$ 和 $\textstyle b^{(l)}_i$ 初始化为一个很小的随机值（比如说，使用正态分布 $\textstyle {Normal}(0,\epsilon^2)$ 生成的随机值，其中 $\textstyle \epsilon$ 设置为 $\textstyle 0.01$ ），然后使用批梯度下降算法来优化 $\textstyle W^{(l)}_{ij}$ 和 $\textstyle b^{(l)}_i$ 的值，因为 $\textstyle J(W, b)$ 是非凸函数，即存在不止一个极值点，梯度下降算法很可能会收敛到局部极值处，但通常效果很不错（在浅层网络中，比如说三层），需要强调的是要将参数随机初始化，而不是全部置0，如果所有参数都用相同的值作为初始值，那么所有隐藏层单元最终会得到与输入值有关的、相同的函数（也就是说，对于所有hidden unit $\textstyle i$ ， $\textstyle W^{(1)}_{ij}$ 都会取相同的值，那么对于任何输入 $\textstyle x$ 都会有： $\textstyle a^{(2)}_1 = a^{(2)}_2 = a^{(2)}_3 = \ldots$ ），随机初始化会消除这种对称效果。

批梯度下降算法中，每一次迭代都按照如下公式对参数 $\textstyle W$ 和 $\textstyle b$ 进行更新：

　　 $\begin{align} W_{ij}^{(l)} &= W_{ij}^{(l)} - \alpha \frac{\partial}{\partial W_{ij}^{(l)}} J(W,b) \\ b_{i}^{(l)} &= b_{i}^{(l)} - \alpha \frac{\partial}{\partial b_{i}^{(l)}} J(W,b) \end{align}$

其中J(W，b)包含了所有的样本， $\textstyle \alpha$ 是学习速率，对于多层神经网络，如何计算每一层参数的偏导数是关键问题，BP算法正使用来计算每一项的偏导数的。

首先来看对于单个样例，参数 $\textstyle W^{(l)}_{ij}$ 和 $\textstyle b^{(l)}_i$ 的偏导数分别为 $\textstyle \frac{\partial}{\partial W_{ij}^{(l)}} J(W,b; x, y)$ 和 $\textstyle \frac{\partial}{\partial b_{i}^{(l)}} J(W,b; x, y)$

有了单个样例的偏导数后，根据，就可以很好求出损失函数 $\textstyle J(W,b)$ 的偏导数：

　　 $\begin{align} \frac{\partial}{\partial W_{ij}^{(l)}} J(W,b) &= \left[ \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \frac{\partial}{\partial W_{ij}^{(l)}} J(W,b; x^{(i)}, y^{(i)}) \right] + \lambda W_{ij}^{(l)} \\ \frac{\partial}{\partial b_{i}^{(l)}} J(W,b) &= \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \frac{\partial}{\partial b_{i}^{(l)}} J(W,b; x^{(i)}, y^{(i)}) \end{align}$

$\textstyle \lambda$ 并不作用于bais unit b，所以第二个式子中没有第二项。

先看如下的式子，l+1层的输入等于l层的加权输出求和，即

课件hidden layer的输入z为参数的方程，为了求解对每个样本中参数 $\textstyle W^{(l)}_{ij}$ 和 $\textstyle b^{(l)}_i$ 的偏导数，可以用根据链式求导法则有:

我们把上边的第一项称为残差，有了以上链式求导的思想，为了求得各个参数的偏导数，我们需要求得每一层的每个单元的残差。下面反向传播算法的思路：

1）给定 $\textstyle (x,y)$ ，我们首先进行“前向传导”，计算出网络中所有的激活值，包括 $\textstyle h_{W,b}(x)$ 的输出值

2）对第 $\textstyle l$ 层的每个节点 $\textstyle i$ ，计算出其“残差” $\textstyle \delta^{(l)}_i$ ，该残差表明节点对最终输出值的残差产生多少影响

3）对于最终的输出节点，直接算出网络产生的激活值与实际值之间的差距，将这个差距定义为 $\textstyle \delta^{(n_l)}_i$

4）对于隐藏单元，将第 $\textstyle l+1$ 层节点的残差的加权平均值计算 $\textstyle \delta^{(l)}_i$ ，这些节点以 $\textstyle a^{(l)}_i$ 作为输入到 $\textstyle l+1$ 层

下面将给出反向传导算法的细节：

1）进行前馈传导计算，利用前向传导公式，得到 $\textstyle L_2, L_3, \ldots$ 直到输出层 $\textstyle L_{n_l}$ 的激活值。

2）对于第 $\textstyle n_l$ 层（输出层）的每个输出单元 $\textstyle i$ ，我们根据以下公式计算残差：

　　 $\begin{align} \delta^{(n_l)}_i = \frac{\partial}{\partial z^{(n_l)}_i} \;\; \frac{1}{2} \left\|y - h_{W,b}(x)\right\|^2 = - (y_i - a^{(n_l)}_i) \cdot f'(z^{(n_l)}_i) \end{align}$

推倒：

　　 $\begin{align} \delta^{(n_l)}_i &= \frac{\partial}{\partial z^{n_l}_i}J(W,b;x,y) = \frac{\partial}{\partial z^{n_l}_i}\frac{1}{2} \left\|y - h_{W,b}(x)\right\|^2 \\ &= \frac{\partial}{\partial z^{n_l}_i}\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{S_{n_l}} (y_j-a_j^{(n_l)})^2 = \frac{\partial}{\partial z^{n_l}_i}\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{S_{n_l}} (y_j-f(z_j^{(n_l)}))^2 \\ &= - (y_i - f(z_i^{(n_l)})) \cdot f'(z^{(n_l)}_i) = - (y_i - a^{(n_l)}_i) \cdot f'(z^{(n_l)}_i) \end{align}$

3）对 $\textstyle l = n_l-1, n_l-2, n_l-3, \ldots, 2$ 的各个层，第 $\textstyle l$ 层的第 $\textstyle i$ 个节点的残差计算方法如下：

　　 $\delta^{(l)}_i = \left( \sum_{j=1}^{s_{l+1}} W^{(l)}_{ji} \delta^{(l+1)}_j \right) f'(z^{(l)}_i)$

有了最后一层的层差，可以计算前一层的残差：

　　 $\begin{align} \delta^{(n_l-1)}_i &=\frac{\partial}{\partial z^{n_l-1}_i}J(W,b;x,y) = \frac{\partial}{\partial z^{n_l-1}_i}\frac{1}{2} \left\|y - h_{W,b}(x)\right\|^2 = \frac{\partial}{\partial z^{n_l-1}_i}\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{S_{n_l}}(y_j-a_j^{(n_l)})^2 \\ &= \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{S_{n_l}}\frac{\partial}{\partial z^{n_l-1}_i}(y_j-a_j^{(n_l)})^2 = \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{S_{n_l}}\frac{\partial}{\partial z^{n_l-1}_i}(y_j-f(z_j^{(n_l)}))^2 \\ &= \sum_{j=1}^{S_{n_l}}-(y_j-f(z_j^{(n_l)})) \cdot \frac{\partial}{\partial z_i^{(n_l-1)}}f(z_j^{(n_l)}) = \sum_{j=1}^{S_{n_l}}-(y_j-f(z_j^{(n_l)})) \cdot f'(z_j^{(n_l)}) \cdot \frac{\partial z_j^{(n_l)}}{\partial z_i^{(n_l-1)}} \\ &= \sum_{j=1}^{S_{n_l}} \delta_j^{(n_l)} \cdot \frac{\partial z_j^{(n_l)}}{\partial z_i^{n_l-1}} = \sum_{j=1}^{S_{n_l}} \left(\delta_j^{(n_l)} \cdot \frac{\partial}{\partial z_i^{n_l-1}}\sum_{k=1}^{S_{n_l-1}}f(z_k^{n_l-1}) \cdot W_{jk}^{n_l-1}\right) \\ &= \sum_{j=1}^{S_{n_l}} \delta_j^{(n_l)} \cdot W_{ji}^{n_l-1} \cdot f'(z_i^{n_l-1}) = \left(\sum_{j=1}^{S_{n_l}}W_{ji}^{n_l-1}\delta_j^{(n_l)}\right)f'(z_i^{n_l-1}) \end{align}$

4)将上式中的 $\textstyle n_l-1$ 与 $\textstyle n_l$ 的关系替换为 $\textstyle l$ 与 $\textstyle l+1$ 的关系，就可以得到：

$\delta^{(l)}_i = \left( \sum_{j=1}^{s_{l+1}} W^{(l)}_{ji} \delta^{(l+1)}_j \right) f'(z^{(l)}_i)$

5)根据链式求导法则，计算方法如下：

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial W_{ij}^{(l)}} J(W,b; x, y) &= a^{(l)}_j \delta_i^{(l+1)} \\ \frac{\partial}{\partial b_{i}^{(l)}} J(W,b; x, y) &= \delta_i^{(l+1)}. \end{align}$

其中，第二项的计算公式如下：

根据

，有：

概括一下整个算法：

1）进行前馈传导计算，利用前向传导公式，得到 $\textstyle L_2, L_3, \ldots$ 直到输出层 $\textstyle L_{n_l}$ 的激活值。

2）对输出层（第 $\textstyle n_l$ 层），计算：

　　 $\begin{align} \delta^{(n_l)} = - (y - a^{(n_l)}) \bullet f'(z^{(n_l)}) \end{align}$

3）对于 $\textstyle l = n_l-1, n_l-2, n_l-3, \ldots, 2$ 的各层，计算：

　　 $\begin{align} \delta^{(l)} = \left((W^{(l)})^T \delta^{(l+1)}\right) \bullet f'(z^{(l)}) \end{align}$

4）计算最终需要的偏导数值：

　　 $\begin{align} \nabla_{W^{(l)}} J(W,b;x,y) &= \delta^{(l+1)} (a^{(l)})^T, \\ \nabla_{b^{(l)}} J(W,b;x,y) &= \delta^{(l+1)}. \end{align}$

指的注意的是在以上的第2步和第3步中，我们需要为每一个单元 $\textstyle i$ 值计算其 $\textstyle f'(z^{(l)}_i)$ 。假设 $\textstyle f(z)$ 是sigmoid函数，f'(z)=f(z)*(1-f(z)),并且我们已经在前向传导运算中得到了 $\textstyle a^{(l)}_i$ 。那么，使用我们早先推导出的 $\textstyle f'(z)$ 表达式，就可以计算得到 $\textstyle f'(z^{(l)}_i) = a^{(l)}_i (1- a^{(l)}_i)$ 。

经过以上步骤，已经可以求出每个参数的偏导数，下一步就是更新参数，即使得参数沿梯度方向下降，下面给出梯度下降算法伪代码：

$\textstyle \Delta W^{(l)}$ 是一个与矩阵 $\textstyle W^{(l)}$ 维度相同的矩阵， $\textstyle \Delta b^{(l)}$ 是一个与 $\textstyle b^{(l)}$ 维度相同的向量。注意这里“ $\textstyle \Delta W^{(l)}$ ”是一个矩阵，而不是“ $\textstyle \Delta$ 与 $\textstyle W^{(l)}$ 相乘”。下面，我们实现批量梯度下降法中的一次迭代：